Question

a^2+b^2=c^2+d^2=1,求证：（ac-bd)^2+(ad+bc)^2=1

Answer 1

1、
这是柯西不等式的二维形式。
a,b
c,d
两个数列，有(a^2
b^2)(c^2
d^2)>=(ac
bd)^2.
两边开根号即为求证。
2、
或者将两边同时平方,将右边移到左边，得(ac
bd)^2-（a^2
b^2）(c^2
d^2)=2abcd-(b^2c^2
a^2d^2)=-(bc-ad)^2≤0
所以ac
bd≤√（a^2
b^2）(c^2
d^2)