Question

已知函数f(x)=2lnx-x^2-ax (1)求函数的单调区间

Answer 1

(1)f'(x)=(2-2x^2-ax)/x,(x>0)
此问不多说，然后对a分类讨论，解二次方程即可。
(2)设x1,x2的中点为x0
因为p<q，所以px1+qx2>x0
f'(x)=2/x-2x-a
求f(x)的二阶导数得f'(x)单调递减
故f'(px1+qx2)<0
<=>
f'(x0)<0
那么假设存在x0使f'(x0)>=0
由已知
(1)
2lnx1-x1^2-ax1=0
(2)
2lnx2-x2^2-ax2=0
(3)(x1+x2)/2=x0
(4)2/x0-2x0-a>=0
联立上述4式，解得存在x1,x2的值使2(x2-x1)/(x1+x2)>=ln(x2/x1)
(*)
成立。
对(*)式令x2/x1=t(t>1)
令g(t)=lnt-(2t-2)/(t+1)
则存在t(t>1)使g(t)<=0。
又因为g(1)=0
g'(t)=(t-1)^2/t(t+1)^2>0
所以g(t)>0,(t>1)
即不存在t(t>1)使g(t)<=0；
假设不成立，即f'(x0)<0
即f'(px1+qx2)<0