Question

(1/n)方的前n项和怎么算

Answer 1

解：数列{1/n}的前n项和，Sn=1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)也叫调和级数。
对于调和级数1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)求和，目前无较好的方法。只能用尤拉公式来近似计算。即1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)=(㏑n)+γ.(γ称尤拉常数，γ≈0.5772175...
），一般的，n越大，由尤拉公式计算的结果误差就越小。

Answer 2

值为π^2/6是由欧拉首先计算出来的。现在用复变函数的留数计算能求出，公式较复杂，这里就不写了。欧拉的算法：考虑sin(x)/x的级数展开sin(x)/x＝1
x^2/3!
x^3/4!
……
x^n/(n
1)!
……（1）另外sin(x)/x＝0的解为±π，±2π，……±nπ，……于是sin(x)/x＝[1-(x^2)/(π^2)][1-(x^2)/(2^2*π^2)][1-(x^2)/(3^2*π^2)]……[1-(x^2)/(n^2*π^2)]……此式右边x^2项乘积相加后为1
1/(2π)^2
1/(3π)^2
1/(4π)^2
……1/(nπ)^2
……令其等于（1）式的x^2项系数，就有1
1/(2π)^2
1/(3π)^2
1/(4π)^2
……1/(nπ)^2
……＝1/3！＝1/6就得到1/1^2
1/2^2
1/3^2
1/4^2
...＝π^2/6