Question

证明：a的3次方+b的三次方+c的三次方大于等于3abc?怎么证明啊？？

Answer 1

在a+b+c>=0时可证明如下：
∵a³+b³+c³-3abc
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
=(1/2)(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]
>=0
∴a³+b³+c³>=3abc
如果没有前述条件，命题不成立。

Answer 2

结论不对
应该是a+b+c>=0成立

a³+b³+c³-3abc
=(a³+3a²b+3ab²+b³+c³)-(3abc+3a²b+3ab²)
=[(a+b)³+c³]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+b²+2ab-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+b²+c²+2ab-3ab-ac-bc)
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)

因为a²+b²+c²-ab-bc-ac=a²+b²+c²=1/2[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]>=0
所以a+b+c>=0时，a³+b³+c³-3abc>=0
a³+b³+c³>=3abc

Answer 3

a^3+b^3+c^3=(1/2)*[(a+b)*(a^2-ab+b^2)+(b+c)*(b^2-bc+c^2)+(a+c)*(a^2-ac+c^2)]>=(1/2)*[(a+b)*ab+(b+c)*bc+(a+c)*ac]=(1/2)*[a*(b^2+c^2)+b*(a^2+c^2)+c*(a^2+b^2)]>=(1/2)*(2abc+2bac+2cab)=3abc