Question

数列{an}满足a1+3a2+3^2a3+……3^n-1an=n/3,，【1】求{an}通项公式 【2】设bn=n/an，求{bn}前n项和sn

数列{an}满足a1+3a2+3^2a3+……3^n-1an=n/3,，
【1】求{an}通项公式
【2】设bn=n/an，求{bn}前n项和sn

Answer 1

看图，不解释，结果自己化简

Answer 2

令n=1 得a1=1/3
再由a1+3a2+3^2a3+……3^(n-1)an=n/3
取前一项得到等式 a1+3a2+3^2a3+……3^(n-2)a(n-1)=(n-1)/3
两式相减 得 3^(n-1)an=1/3 故知an通项为 an=1/(3^n) n=1时亦成立

由上可知 bn通项为 bn=n/an=n3^n
即 sn=1*3+2*3^2+3*3^3+....+n*3^n
可将sn看作n个公比为3 首项分别为3 3^2 3^3....3^n的等比数列相加的和
所以sn=3/2(3^n-1)+3^2/2(3^(n-1)-1)+3^3/2(3^(n-2)-1)+....+3^n
=[3^(n+1)-3]/2+[3^(n+1)-3^2]/2+[3^(n+1)-3^3]/2+...+[3^(n+1)-3^n]/2
={n[3^(n+1)]-3-3^2-3^3-....-3^n}/2
={n[3^(n+1)]-3/2[(3^n)-1]}/2
={[n-(1/2)]3^(n+1)+3/2}/2
=[(n/2)-(1/4)]*[3^(n+1)]+(3/4) 得解

如果跟标准答案不太一样的话 麻烦楼主自己变形下看看
希望楼主满意 有什么问题可以再找我

Answer 3

a1+3a2+3^2a3+……3^（n-1）an=n/3 （1）
a1+3a2+3^2a3+……3^（n-2）an=（n-1）/3 （2）
（1）-（2）得出 an=1/3^n

bn=n3^n

Sn=(3+(2n-1)3^(n+1))/4