Question

求微积分的所有公式

Answer 1

dy=f'(x)*dx=2ax*dx

dL=(dy
2
+dx
2
)
1/2
=(4a
2
x
2
dx
2
+dx
2
)
1/2
=dx(4a
2
x
2
+1)
1/2

dL/dx=(4a
2
x
2
+1)
1/2

L'(x)=(4a
2
x
2
+1)
1/2

L(x)=∫(4a
2
x
2
+1)
1/2
=[2ax(4a
2
x
2
+1)
1/2
+sinh
-1
(2ax)]/4a

则从0到p的L对x的定积分为：

[2ap(4a
2
p
2
+1)
1/2
+sinh
-1
(2ap)]/4a-[2a*0(4a
2
*0
2
+1)
1/2
+sinh
-1
(2a*0)]/4a

=[2ap(4a
2
p
2
+1)
1/2
+sinh
-1
(2ap)]/4a

这就是抛物线长度公式。

如果令2ap=t，则

L=[t(t
2
+1)
1/2
+sinh
-1
t]/4a

如果二次函数的一次项系数、常数项不为零，那么抛物线形状不变。

若抛物线顶点到一点P在横轴上的投影长为p，则顶点与P之间抛物线长度L为

L=[2ap(4a
2
p
2
+1)
1/2
+sinh
-1
(2ap)]/4a