Question

已知数列的通项为1/（n∧2），求其前n项和。

Answer 1

这个题目前n项的和不是个有理的式子吧，只知道当n趋向于无穷大时，
Sn=π^2/6
1/1*1+1/2*2+1/3*3+...+1/n*n<1/1*1+1/1*2+1/2*3+.....+1/n(n+1)
=1+1-1/2+1/2-1/3+..+1/n-1/(n+1)=2-1/(n+1)
1/(n+1)>0
所以1/1*1+1/2*2+1/3*3+...+1/n*n<2-1/(n+1)<2

Answer 2

1＋1/2²＋1/3²＋
…
＋1/n²→π²/6
这个首先是由欧拉推出来的，要用到泰勒公式，属于大学范围
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将sinx按泰勒级数展开：
sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋
…
于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋
…
令y＝x^2，有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋
…
而方程sinx＝0的根为0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y＝0的根为π²,(2π)²,…
即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…＝0的根为π²,(2π)²,…
由韦达定理，常数项为1时，根的倒数和＝一次项系数的相反数
即1/π²＋1/(2π)²＋…＝1/3!
故1＋1/2²＋1/3²＋
…
＝π²/6
1/2²＋1/3²＋
…=π²/6-1