Question

已知圆C：x2+y2+2x-4y +3=0．

Answer 1

已知圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0 （1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程。 （2）从圆C外一点P（x₁，y₂）向该圆引一条切线，切点为M,O为坐标原点且︱PM︱=︱PO︱求使得︱PM︱取得最小值的点P的坐标。
解：圆：(x+1)²+(y-2)²=2；圆心C(-1，2)；半径R=√2.
(1)设切线方程为x+y=a，即x+y-a=0，圆心到切线的距离d=︱-1+2-a︱/√2=r=√2
即有1-a=±2，故a=-1或3，故切线方程为x+y=-1或x+y=3.
再设切线方程为x-y-b=0，这时d=︱-1-2-b︱/√2=√2
即有3+b=±2，b=-1或-5，故切线方程还可为x-y=-1或x-y=-5.
故在x，y上的截距相等的切线可作四条：
①x+y=-1；②x+y=3；③x-y=-1；④x-y=-5.
(2)PM²=PC²-R²=(x₁+1)²+(y₁-2)²-2=x²₁+y²₁=PO²
化简得 2x₁-4y₁+3=0...........(1)
由(1)得x₁=2y₁-3/2，故PM²=PO²=x²₁+y²₁=(2y₁-3/2)²+y²₁=5y²₁-6y₁+9/4
=5(y²₁-6y₁/5)+9/4=5[(y₁-3/5)²-9/25]+9/4=5[(y₁-3/5)²+9/20≧9/20
当y₁=3/5时等号成立，此时x₁=6/5-3/2=-3/10.
即当P点坐标为(-3/10，3/5)时，︱PM▕=︱PO▕,，且︱PM︱获得最小值3(√20)/20.

Answer 2

解：
（1）圆C的方程可化为（x+1）²+（y-2）²=2，
即圆心的坐标为（-1，2），半径为
√2
，
因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，
所以可设直线l的方程为
x+y+m=0，
于是有|-1+2+m|
/
√（
1+1）
=
√2
，
得m=1或m=-3，
因此直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0；
（2）因为圆心（-1，2）到直线x-y-5=0的距离为|-1-2-5|
/√（
1+1
）
=缉范光既叱焕癸唯含沥4√2
，所以点P到直线x-y-5=0距离的最大值与最小值依次分别为5
√2
和3
√2
．
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Answer 3

（1）把圆的方程化为标准，找出圆心坐标和半径，根据直线l在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点设出直线l的方程为x+y+m=0，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，让距离等于半径列出关于m的缉范光既叱焕癸唯含沥方程，求出方程的解即可得到m的值，进而确定出直线l的方程；
（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x-y-5=0的距离d，所以点P到直线x-y-5=0距离的最大值为d+r，最小值为d-r，利用d与r的值代入即可求出值．
具体解法看下面的链接