Question

若x服从正态分布，为什么∑ (i=1→n)（xi-x拔）∧2服从卡方（n-1）分布？

Answer 1

因为S²=1/(n-1)∑(Xi-X拔)²，而且(n-1)S²/σ²～χ²(n-1)，又因为σ=1，∑(Xi-X拔)²～χ²(n-1)，根据卡方分布的定义可知：∑(Xi-μ)2/σ2服从正态分布
N(μ,σ2/n)，则
(X*-μ)/
(σ/n1/2)
服从正态分布
N(0,1)
∑(Xi-μ)2/σ2
。
若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn
，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。
扩展资料
卡方分布性质：
1、
分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数
的增大，
分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1.
2、
分布的均值与方差可以看出，随着自由度
的增大，χ2分布向正无穷方向延伸（因为均值
越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差
越来越大）。
3、不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。
4、若
互相独立，则：
服从
分布，自由度为
；
5、
分布的均数为自由度
，记为
E(
)
=
。
6、
分布的方差为2倍的自由度(
)，记为
D(
)
=
。
参考资料：搜狗百科—卡方分布

Answer 2

应该σ=1，否则结论不成立

Answer 3

（均值用X*
表示,且可知X*=(∑Xi)/n）
Xi服从正态分布
N(μ,σ2)，则
(Xi-μ)/σ
服从标准正态分布
N(0,1)
根据卡方分布的定义可知：∑(Xi-μ)2/σ2服从Χ2(n)分布
X*服从正态分布
N(μ,σ2/n)，则
(X*-μ)/
(σ/n1/2)
服从标准正态分布
N(0,1)
∑(Xi-μ)2/σ2
=。

Answer 4

我来回答吧
因为S²=1/(n-1)∑(Xi-X拔)²，而且(n-1)S²/σ²～χ²(n-1)[高数书上有，但我不会证明，]，这道题刚好σ=1，所以∑(Xi-X拔)²～χ²(n-1)，
给我追加悬赏分啊！