1²+2²+3²+4²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6
2个回答
展开全部
解:利用恒等式(n+1)³=n³+3n²+3n+1,可以得到:
(n+1)³-n³=3n²+3n+1,
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
..............................
3³-2³=3*(2²)+3*2+1
2³-1³=3*(1²)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得:
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代入上式得:
n³+3n²+3n=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(n+1)n/2+n
整理后得:
1²+2²+3²+....+n²=n(n+1)(2n+1)/6
(n+1)³-n³=3n²+3n+1,
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
..............................
3³-2³=3*(2²)+3*2+1
2³-1³=3*(1²)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得:
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代入上式得:
n³+3n²+3n=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(n+1)n/2+n
整理后得:
1²+2²+3²+....+n²=n(n+1)(2n+1)/6
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询