Question

已知函数f（x）=ax³-3x+1(x∈R),x∈[-1,1],f(x)≥0成立，求a的范围

Answer 1

（1）a=0时，-3x+1≥0在[-1,1]上不能恒成立
（2）a若对x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立，则需f(1)≥0
即a-3+1≥0
a≥2
又因a（3）a>0时，
f(x)=ax^3-3x+1≥0恒成立，x∈[-1,1]，
①x=0时，1≥0成立
②0令g(x)=
（3x-1）/(x^3),求导得g’(x)=（3x^3-(3x-1)•3x^2）/(x^6)=(-6x+3)/(x^4)
易知0所以g(x)最大值为g(1/2)=4
∴a≥4
③-1≤xg(x)=
（3x-1）/(x^3),求导得g’(x)=(-6x+3)/(x^4)
可知g(x)在-1∴a≤4
由②知a≥4
∴a=4.
综上知a=4.

Answer 2

f'(x)=3ax^2-3
若a<=0,则f'(x)<0,单调减，最小值为f(1)=a-2,须a-2>=0,得a>=2,矛盾；
若a>0,则f(x)有极值点x=±1/√a
当a>=1时，函数在[-1,1]单调减，最小值为f(1)=a-2>=0,得a>=2，符合。
当0
=0,得a>=4,矛盾。
综合得：a>=2