Question

极限的问题

Answer 1

题主的问题可以这样重新描述一下，同样一个求极限的问题，采用了两种解决方案。第一种是用四则运算法则，将原极限的计算拆分为两个极限的和，然后第一个极限应用无穷小的性质计算，第二个应用洛必达法则求解；第二种直接应用洛必达法则求解。两种方法的结果相矛盾。
题主提的这个问题很好，出现上述矛盾的根本在于忽略了洛必达法则的应用条件。
洛必达法则截图如下（以0/0型为例）：
第三个条件表明：应用洛必达法则需满足求导之后极限存在或者无穷。
而这个问题中如果直接求导（原题图中最后一行），极限不存在，说明不能直接应用洛必达法则。
所以，需要采用四则变换的思路，将极限化为两个极限的和（即原题中的第一种方法）。第一个极限应用“无穷小与有界相乘仍为无穷小”这一定理来求解；第二个极限用洛必达法则求解。

Answer 2

lim(2n-n^2sin1/n)/(2n-1)
=lim(2-2nsin1/n+cos1/n)/2(罗必塔法则)
=lim(1-nsin1/n+0.5cos1/n)
=lim(1-1+0.5cos1/n)
=lim(cos1/n)/2
=1/2
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