Question

平行四边形（难题）

Answer 1

(1)△ABD和△CDB都是直角三角形，而已知：AB=CD,BD=DB,所以DA^2=BD^2-AB^2=DB^2-CD^2=BC^2即DA=BC,又AB=CD,所以，四边形ABCD是平行四边形，又∠A=∠C=90º所以四边形ABCD是矩形。

(2)不一定是平行四边形。

由于没有工具，电脑上画有点烦，描述一下即可。

是平行四边形的情况太简单了，举个特例。两个等边三角形组合一起成一个菱形。

不是平行四边形的情况：先画一个等边三角形记为△A‘BD，延长DA'，在延长线上取点A，使得DA'=A'A；延长A'B，在延长线上取点C，使得A'B=BC；四边形ABCD满足∠A=∠C，AB=CD，∠A=∠C＜90º，但不是平行四边形。

注：用圆规画等边三角形，先画一段直线AB，分别取A，B为圆心，AB长为半径画圆，相交于点C，则△ABC为等边三角形。关于不是平行四边形情况下画出来的四边形ABCD满足的三个条件的证明：

显然△AA'B和△DBC是等腰三角形，很容易得出△AA'B和△DBC全等（边角边）所以AB=CD，∠A=∠C=60/2=30度。

(3)是平行四边形。

△ABD以AD为底，B为顶点，做高BA'，则△ABA'为直角三角形。

△CBD以BC为底，D为顶点，做高DC'，则△CDC'为直角三角形。

由于∠A=∠C，所以有∠A‘AB=∠C'CD，又AB=CD，则△ABA'和△CDC'全等。因此A'B=C'D。

根据(1)的结论得出四边形A'BC'D为矩形，那么有A'D//BC'即AD//BC，又∠A=∠C，所以得出四边形ABCD是平行四边形。(一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形)

说明：(2)可能是凹四边形，因此不能用(3)的证明来证明它是平行四边形，只因为这样做会出现A'B和C'D相交，就不能用(1)的结论来得到矩形了。而(3)一定是凸四边形，不会出现这种情况。

Answer 2

(1)连接BD，利用HL可以证明分得的两个三角形全等，从而可得ABCD是矩形

（2）不能确定ABCD是平行四边形。如下图所示：

（3）当∠A
=
∠C＞90°时，ABCD是平行四边形。