Question

关于线性代数向量组线性表示和等价的问题

Answer 1

向量组等价，是两向量组中的各向量，都可以用另一个向量组中的向量线性表示。矩阵等价，是存在可逆变换（行变换或列变换，对应于1个可逆矩阵），使得一个矩阵之间可以相互转化。如果是行变换，相当于两矩阵的列向量组是等价的。如果是列变换，相当于两矩阵的行向量组是等价的。由于矩阵的行秩，与列秩相等，就是矩阵的秩，在行列数都相等的情况下，两矩阵等价实际上就是秩相等，反过来，在这种行列数都相等情况下，秩相等，就说明两矩阵等价。这与向量组等价略有区别：向量组等价，则两向量组的秩（极大线性无关组中向量个数）相等，但反过来不一定成立，即两向量组的秩相等，不一定能满足两向量组可以相互线性表示。举个简单例子：向量组
A:
(1,0,0)，(0,1,0)
B:（0,0,1），(0,1,0)
两者秩都是2，但不能相互线性表示，因此不是等价的。、而矩阵：
A:
1
0
0
0
1
0
B:
0
0
1
0
1
0
却是等价的

Answer 2

假设给出了a1...ar个向量，向量组a=（a1,a2,...ar），要求判断线性相关性
（1）那么根绝定义来判断的话就是看方程
k1a1+k2a2...+krar=0的解集的数量。
加入只有k1=k2=...=kr=0这一种解，那么向量组a1...ar就是线性无关。
假如还有别的解，那么向量组就是线性相关了。
（2）根据秩来判断。
假如r(a1,a2...ar)=r，那么就是线性无关。
假如r(a1,a2...ar)
评论
0
0
0
加载更多