Question

求幂级数 ∑(n=2,∝) n(n-1)x^n的和函数

Answer 1

这题求和函数要用到一个幂级数一致收敛的性质，幂级数先求导再求和函数，等于原来的幂级数的和函数的导数。这道题n(n-1)x∧n要先求n(n-1)x∧(n-2)的和函数因为n(n-1)x∧(n-2)是x∧n的二阶导数，所以先求x∧n的和函数就可以了。幂级数x∧n是等比级数，我们知道等比级数的和函数是a1/(1－q)，所以x∧n的和函数是

求两次导得到n(n-1)x∧(n-2)的和函数

最后乘一个x平方就可以了

可以求出收敛域是(-1，1)。

追答

k＝1000时就已经非常接近了，收敛半径可以用an/an-1的极限是1得到，然后代入x＝±1，可以发展级数都是发散的，所以收敛域是(-1，1)

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示