Question

设cos（α-β/2)=-1/9，sin(α/2-β)=2/3，α∈（π/2，π），β∈（0，π/2）。求cos（α+β）

Answer 1

这题答过了。。

∵α∈（π/2，π），β∈（0，π/2）
∴α-β/2∈（π/4，π），
α/2-β∈（-π/4，π/2）
∵cos（α-β/2)=-1/9<0
sin(α/2-β)=2/3>0
∴α-β/2∈（π/2，π），
α/2-β∈（-π/4，0）
∴sin（α-β/2)=4√5/9
cos(α/2-β)=√5/3

cos（α+β）=cos2[（α+β）/2]
=2cos^2（α+β）-1

cos（α+β=cos[（α-β/2)-(α/2-β)]
=cos（α-β/2)cos(α/2-β)-sin（α-β/2)sin(α/2-β)
=-1/9*√5/3-4√5/9*2/3
=-5√5/27

cos（α+β）=cos2[（α+β）/2]
=2cos^2（α+β）-1
=2*125/27^2-1

Answer 2

α∈(π/2,π)β∈(0,π/2)
α-β/2∈(0,π)
α/2-β∈(-π/4,π/2)
则sin(α-β/2)=√{1-[cos(α-β/2)]^2}=4√5/9
cos(α/2-β)=√{1-[sin(α/2-β)]^2}=√5/3
sin(α/2+β/2)=sin[(α-β/2)-(α/2-β)]=sin(α-β/2)cos(α/2-β)-cos(α-β/2)sin(α/2-β)
=(4√5/9)*(√5/3)-(-1/9)*(2/3)=20/27+2/27=22/27
故cos(α+β)=1-2[sin(α/2+β/2)]^2=1-2*(22/27)^2=1-968/729=-239/729