Question

已知函数f(x)=(x^2+ 2x+ a)/x，x属于[1，正无穷)

已知函数f(x)=(x^2+ 2x+ a)/x，x属于[1，正无穷)⑴当a=1/2时，求函数f(x)的最小值。⑵若对任意x属于[1，正无穷)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围。
求详细解答

Answer 1

f（x）=（x²+2x+a）/x=x+2+（a/x）
1）当a=1/2时，f（x）=x+2+(1/2x)
设1≤x1＜x2
f（x1）-f（x2）=x1+2+（1/2x1）-x2-2-(1/2x2)=（x1-x2）+（x2-x1）/（2x1x2）=（x1-x2）[1- 1/（2x1x2）]
∵1≤x1＜x2，∴2x1x2＞2
∴1/（2x1x2）＜1，∴1- 1/（2x1x2）＞0又x1-x2＜0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数；
∴当x=1时，f（x）=x+2+（1/2x）取得最小值为：f（1）=7/2
2）f（x）=（x²+2x+a）/x＞0
∵x≥1，
∴（x²+2x+a）/x＞0等价于：x²+2x+a＞0
∴a＞-x²-2x=-（x+1）²+1恒成立；
又x≥1，∴-（x+1）²+1≤-3；
要使得a＞-（x+1）²+1恒成立；
则需a＞-3；

Answer 2

第一问带入a，利用均值不等式求解
第二问由题意等价于求a>-(x^2+ 2x)对于x属于[1，正无穷)恒成立，只要a大于-(x^2+ 2x)在[1，正无穷)上的最大值即可