Question

线性代数,求解,急！！！

设A为n阶矩阵,且A*A=A,证明R(A)+R(A-E)=n.

Answer 1

由A*A=A知A(A-E)=0 {备注：以后矩阵相乘别用*了，容易误会成伴随阵}
由秩的不等式
r(A)+r(A-E)-n<=0 {备注：r（AB）>=r(A)+r(B)-s，其中s为A列数或B行数}
即
r(A)+r(A-E)<=n (*1)

而考虑到A-(A-E）=E

再次利用秩的不等式{备注：r(A-B) <= r(A)+r(B)}

得到r（A）+r（A-E）>=r(E)=n (*2)

根据（*1）和（*2）知道

R(A)+R(A-E)=n