Question

一元四次方程解法

Answer 1

四次方程属于高次方程范畴，其基本解法思想是：通过适当的配方，使四次方程变为两个一元二次方程．
一元四次方程的求解，据说是由卡尔达诺的学生费拉里(Ferrari，1522年2月2日到1565年10月5日)首先掌握的．费拉里曾利用它战胜了塔尔塔利亚[1] ．
四次方程的求解主要是以下两种情况：
1.如果一个一元四次方程的三次项系数和一次项系数都为

，那么该一元四次方程是双二次方程：

2.一般的一元四次方程可化为：

这种一般情况主要有两种解决方法[2] ：（1）Euler(欧拉)；（2）Ferrari(费拉里)，此处详细陈述第二种。
解法
特殊情况
如果一个一元四次方程的三次项系数和一次项系数都为0 ，那么该一元四次方程是双二次方程：

令 ，得

。用一元二次方程的求根公式可求出[1]

则原方程的四个根分别为：

1
一般情况

一般的一元四次方程可化为：

移项可得：

两边同时加上

配成平方：

在两边同时加上

，可得：

若使右边这个x的二次式的判别式等于零，就能使这一边成为x的一次式的完全平方。于是设[3]

这是y的一个三次方程。选取这三次方程的任一个根代入

中的y。根据左边
也是个完全平方这一事实，取平方根，得到x的一个二次式，它等于x的两个互为正负的线性函数之一。解出这两个二次方程便得到x的4个根。若从

选取另一个根就会从

引出一个不同的方程但得到同样的四个根。
费拉里发现的上述解法的创造性及巧妙之处在于：
第一次配方后引进参数 y，并再次配方把左边配成含有参数 y 的完全平方，再使 右边也成为完全平方，从而把一个一元四次方程的求解问题化成了一个一元三次方程及两个一元二次方程的求解问题．
因此，我们可得四次方程求根公式[1] 。