Question

求数学大神，3/4题

Answer 1

3、因为lim(k->∞) x(2k-1)=a，且lim(k-∞) x(2k)=a，所以根据数列极限的定义
对ε>0，存在正数N，使对所有k，满足min{2k-1,2k}>N，有|x(2k-1)-a|<ε/2，|x(2k)-a|<ε/2
则根据柯西收敛准则，对∀ε>0，存在正数N，使对所有n,m>N，有
|x(n)-x(m)|<=|(x(n)-a)-(x(m)-a)|
<=|x(n)-a|+|x(m)-a|
无论n,m的奇偶性如何，|x(n)-a|+|x(m)-a|<ε/2+ε/2=ε
所以lim(n->∞) x(n)=a
4、对∀ε>0，存在正数d=ε*(2√x0-ε)，使对所有x>0，满足0<|x-x0|<d，有
|√x-√x0|=|x-x0|/(√x+√x0)
因为d>|x-x0|>=|x0|-|x|=x0-x，即x>=x0-d，√x>=√(x0-d)

|√x-√x0|<d/[√(x0-d)+√x0]=ε
所以lim(x->x0) √x=√x0