Question

z=y^2f(xy,e^x),求二阶偏导

Answer 1

z
=
y^2
f(xy，e^x)
设u=xy，
v=e^x，则
z
=
y^2
f(u，v)。
求偏导数如下：
(1)
z'x
=
y^2
(f'u*y
+
f'v*e^x)
z'x
=
y^3f'u
+
y^2e^x
f'v
z''xx
=
y^3(yf''uu
+e^xf''uv)+y^2e^xf'v+y^2e^x(f''vu*y+f''vv*e^x)
=
y^4
f''uu
+
y^3e^x
f''uv+y^2e^xf'v+y^3e^xf''vu+y^2e^2xf''vv
=y^4
f''uu
+2y^3e^x
f''uv+y^2e^xf'v+y^2e^2xf''vv
(2)
z'y=2yf(u,v)+y^2(f'u*x+f'v*0)=2yf（u，v）+f'u*xy^2.
z''yy
=2f（u,v）+2y(f'u*x+f'v*0)+x*2y*f'u+xy^2*(f''uv*0+f''uu*e^x)
=2f（u,v）+4xyf'u+xy^2e^xf''uu
(3)
z'x
=
y^3f'u
+
y^2e^x
f'v
z''xy
=3y^2f'u+y^3*(f'uv*0+f'uu*x)+e^x*2yf'v+e^xy^2*(f'vv*0+f'vu*x)
=3y^2f'u+xy^3f'uu+2e^x*yf'v+xy^2e^xf'vu