Question

广义积分的敛散性

Answer 1

主要的广义积分敛散性证明方法如下：

套定义验证
比较判别法、等价无穷小
Cauchy准则
Dirichlet判别法
Abel判别法
另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.

1 广义积分的定义

定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 \lim\limits_{A\to+\infty}\int_a^Af(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为
\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{A\to+\infty}\int_a^Af(x)dx.
否则称无穷积分是发散的.
此外,

\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_a^{+\infty}f(x)dx+\int_{-\infty}^af(x)dx.

这与Cauchy主值积分不同:

(V.P.)\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{A\to+\infty}\int_{-A}^{A}f(x)dx.

广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.

Answer 2