Question

已知limXn=a求证lim|Xn|=|a|

Answer 1

证明：若limXn=a，则lim|Xn|=|a|。

证明：

① 对任意 ε>0

由：lim(n->∞) Xn = a , 对此ε>0 ,存在 N ∈Z+ ，当 n>N 时,恒有：|Xn-a|<ε ,所以：||Xn|-|a||< |Xn-a|<ε 【三角不等式】

② 存在 N ∈Z+

③ 当 n>N 时

④ ||Xn|-|a||< |Xn-a|< ε 恒成立。

∴lim(n->∞) |Xn|=|a|。

“极限”

一词源于拉丁文“limitem”，缩写为“lim”。1786年瑞士数学家鲁易理(Lhuillier)首次引入，后人不断完善，发展了长达132年之久，由英国数学家哈代(Haddy)的完善极限符号才成为今天通用的符号。

极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。

Answer 2

证明：若limXn=a,则lim|Xn|=|a|.

证明：
① 对任意 ε>0

由：lim(n->∞) Xn = a , 对此ε>0 ,存在 N ∈Z+ ，当 n>N 时,恒有：|Xn-a|<ε ,
所以：||Xn|-|a||< |Xn-a|<ε 【三角不等式】

② 存在 N ∈Z+

③ 当 n>N 时

④ ||Xn|-|a||< |Xn-a|< ε 恒成立。

∴lim(n->∞) |Xn|=|a|。