Question

已知函数f(x)=2x-12x+1．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2...

已知函数f(x)=2x-12x+1． （1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明； （2）利用函数单调性的定义证明：f（x）是其定义域上的增函数．

Answer 1

解：（1）f（x）为奇函数．证明如下：
∵2x+1≠0，
∴f（x）的定义域为R，
又∵f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-2x-12x+1=-f(x)，
∴f（x）为奇函数．
（2）f(x)=1-22x+1，
任取x1、x2∈R，设x1＜x2，
∵f(x1)-f(x2)=(1-22x1+1)-(1-22x2+1)=2(12x2+1-12x1+1)=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)，
∵x1＜x2∴2x1＜2x2，∴2x1-2x2＜0，又2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在其定义域R上是增函数．