Question

显然满足罗尔定理的条件

下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件?如满足就求出定理中的数值.（1）f(x)=2x²－x－3 [－1,1.5] )
（2）f(x)=1/(1+x²)[－2,2]

Answer 1

(1)f(x)为初等函数,处处可导,处处连续,且f(-1)= f(1.5),满足罗尔定理的所有条件.
对f(x)求导,得f´(x) = 4x -1 令f´(x) = 0,解得x = 1/4,故罗尔定理中的ξ = 1/4.
(2) 对f(x)求导,得f´(x) = -2x/(1+x²)²,在x∈R上均有定义且连续.
故f(x)在x∈R上处处可导,处处连续 又f(-2)=f(2)
∴该函数满足罗尔定理的所有条件.
令f´(x) = 0,解得x = 0,即罗尔定理中的ξ = 0.