Question

求解下面数学题关于圆锥曲线 重在第2个问 详细的解题过程

某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m. (1)建立坐标系并写出该双曲线方程. (2)求冷却塔的容积(精确到10 m2,塔壁厚度不计，π取3.14).

Answer 1

建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴.
设双曲线方程为
=1(a＞0,b＞0),则a=
AA′=7
又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上，所以有
由题意，知y2-y1=20,由以上三式得:y1=-12,y2=8,b=7
故双曲线方程为
=1.
(2)由双曲线方程，得x2=
y2+49
设冷却塔的容积为V(m3),则V=π
,经计算，得V=4.25×103(m3)
答:冷却塔的容积为4.25×103m3.