Question

已知数列{an}、{bn}满足a1=1，a2=3，bn+1bn =2 (n∈N*...

已知数列{an}、{bn}满足a1=1，a2=3，bn+1bn =2 (n∈N*)，bn=an+1-an. (1)求数列{bn}，{an}的通项公式; (2)数列{cn}满足cn=bn•log2(an+1)(n∈N*)，求Sn=c1+c2+…+cn.

Answer 1

解答:解:(1)∵数列{an}、{bn}满足a1=1，a2=3，
bn+1
bn
=2 (n∈N*)，bn=an+1-an，
∴b1=a2-a1=3-1=2，
∴{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴bn=2n.
∴a2-a1=2，
a3-a2=22，
…
an-an-1=2n-1，
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+2+22+…+2n-1
=
1×(1-2n)
1-2
=2n-1.
(2)∵an=2n-1，bn=2n-1，
∴cn=bn•log2(an+1)=2n-1•log22n=n•2n-1，
∴Sn=c1+c2+…+cn=1×20+2×2+3×22+…+n•2n-1，
∴2Sn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，
∴-Sn=1+2+22+23+…+2n-1-n•2n
=
1×(1-2n)
1-2
-n•2n
=2n-1-n•2n，
∴Sn=n•2n-2n+1.