Question

设u(x,y)具有二阶连续偏导数

设函数u=u(x,y)具有二阶连续偏导数且满足方程u''xx-u''yy=0,以及下列条件
设u=u(x,y)具有连续二阶偏导数,且满足d^2u/dx^2-d^2u/dy^2=0,及u(x,2x)=x,u'x(x,2x)=x^2,求u''xx(x,2x),u''xy (x,2x),u''yy (x,2x)

Answer 1

u'x(x,y)=x^4
u'‘xx(x,y)=4x^3 u''xx(1,2)=4
u'‘xy(x,y)=0 u''xy(1,2)=0
u(x,2x)=x^2对x求导：
u’x(x,2x)+2u'y(x,2x)=2x,再对x求导：
u’‘xx(x,2x)+2u’‘xy(x,2x)+2u''yx(x,2x)+4u''yy(x,2x)=2
u’‘xx(1,2)+2u’‘xy(1,2)+2u''yx(1,2)+4u''yy(1,2)=2
u''yy(1,2)=-1/2

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