Question

求点到平面的距离的方法

Answer 1

下面将会求点到平面的距离的方法，实际上也很简单的。例：已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
一、直接通过该点求点到平面的距离
1．直接作出所求之距离，求其长．
解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交CB的延长线于M， 连 结GM，作BN⊥BC，交GM于N，则有BN∥CG，BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P，易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于 是BQ是点B到平面EFG的距离．易知BN＝，BP＝，PZ＝，由BQ·PN＝PB·BN，得BQ＝．

图1 图2
2．不直接作出所求之距离，间接求之．
（1）利用二面角的平面角．
课本P．42第4题，P．46第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角M-CD-N的大小为α，A∈M，AB⊥CD，AB＝a，点A到平面N的距离AO＝d， 则有d＝asinα． ①
①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过AB的二面角的平面角．
解法2．如图3，过B作BP⊥EF，交FE的延长线于P，易知BP＝，这就是点B到二面角C-EF-G的棱EF的距离．连结AC交EF于H，连结GH，易证∠GHC就是二面角C-EF-G的平面角．∵ GC＝2，AC＝4，AH＝，∴ CH＝3，GH＝，sin∠GHC＝2/，于是由①得所求之距离d＝BP·sin∠GHC＝· ＝．解略．

（2）利用斜线和平面所成的角．
如图4，OP为平面α的一条斜线，A∈OP，OA＝l，OP与α所成的角为θ，A到平面α的距离为d，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有d＝lsinθ．②
经过OP与α垂直的平面与α相交，交线与OP所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点A在α上的射影B，连结OB得θ．
解法3．如图5，设M为FE与CB的延长线的交点，作BR⊥GM，R为垂足．又GM⊥EB，易得平面BER⊥平面EFG，ER为它们的交线，所以∠REB就是EB与平面EFG所成的角θ．由△MRB∽△MCG，可得BR＝，在Rt△REB中，∠B＝90°，BR＝，EB＝2，所以sinθ＝BR/ER＝，于是由②得所求之距离d＝．

图5 　 图6
（3）利用三棱锥的体积公式．
解法4．如图6，设点B到平面EFG的距离为d，则三棱锥B-EFG的体积V＝(1/3)S△EFG·d．另一方面又可得这个三棱锥的体积V＝(1/3)S△FEB·CG，可求得S△FEB＝(1/4)S△DAB＝2，S△EFG＝，所以有1/3··d＝1/3·2·2，得d＝．
二、不经过该点间接确定点到平面的距离
1．利用直线到平面的距离确定
解法5．如图7，易证BD∥平面EFG，所以BD上任意一点到平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．由对称思想可知，取BD中点O，求点O到平面EFG的距离较简单．AC交EF于H，交BD于O．易证平面GHC⊥平面EFG，作OK⊥HG，K为垂足，OK＝为所求之距离．

图7 　图8
2．利用平行平面间的距离确定
如图8，把平面EFG补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面GMT是正四棱柱ABCD-A1B1GD1经过F、E、G的截面所在的平面．MG交BB1于N，TG交DD1于Q，作BP∥MG，交CG于P，连结DP，则有平面GTM∥平面PDB．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点B平移到平面PDB上任何一个位置，哪里方便就在哪里求．

Answer 2

平面的一般式方程

Ax +By +Cz + D = 0

其中n = (A, B, C)是平面的法向量，D是将平面平移到坐标原点所需距离（所以D=0时，平面过原点）

向量的模（长度）

给定一个向量V（x, y, z),则|V| = sqrt(x * x + y * y + z * z)

向量的点积（内积）

给定两个向量V1(x1, y1, z1)和V2(x2, y2, z2)则他们的内积是

V1V2 = x1x2 + y1y2 + z1z2

点到平面的距离

有了上面的准备知识，则求点到直线的距离不再是难事，有图有真相

如果法相量是单位向量的话，那么分母为1

ORGE中的实现

顺便看一下Ogre中的实现

Real Plane::getDistance (const Vector3& rkPoint) const
{
return normal.dotProduct(rkPoint) + d;
}
可见Ogre默认法相量为单位向量，且没有对结果取绝对值，根据注释，当点与法相量的方向在同一侧时，结果为正，否则为负。