Question

一道初三的数学作图题，求解题过程和思路。

Answer 1

(1)

如图，易证，F是AD中点，

因为：AF*AF+EF*EF=AE*AE，所以，EF是弦AD的中垂线；

H是线段AG的中点，且HK与BG平行，所以，HK与AB的交点K是AB的中点，而△ABC是等边三角形，故，KC与AB垂直。所以，KC是弦AB的中垂线；

综上，KC与EF的交点即圆心O

(2)这一问好像不能只用无刻度直尺做出来：

建立如图所示平面直角坐标系，

怎么也想不出如何用无刻度直尺求出这个P点。

追问

这个圆是怎么求出来的？为什么可以求出来啊？

追答

如答中所见，建立直角平面坐标系，确定A、B、C各点坐标，利用平面上两点间距离公式及题设要求，得到一个圆方程。此方程表明满足AP*AP=BP*BP+CP*CP条件的点的轨迹是一个圆
（其中，B、C点都在这个圆上，所以，△ABC之BC边上的中线也过这个圆心，再结合圆心检横坐标，即可用无刻度直尺确定圆心）。这个圆与已知圆的交点即为所求点。

Answer 2

我有一个思路不过挺麻烦的就是以A为为原点建立直角坐标系，求出圆的方程最后再设点p(x,kx)然后再求解

追问

AD中点在方格纸里很容易找到，但AB中点在方格纸里用无刻度直尺怎么找啊？注意，是无刻度直尺哦！

追答

等边三角形性质，从点C做AB垂线

追问

？？？只用无刻度直尺，不是尺规，怎么做垂线？？？

追答

啊这...，你都说直尺了，拿直尺上的直角一比就能做了
你要是非得这么较真的话那就拿两个直尺，做BC，AC平行线交点H（就是在ABC左面做起一个平行四边形），连接CH，交AB于E，由平行四边形性质，E是AB中点

追问

行我懂你意思，但是按你的方法第二问求P点虽然可以用方程解，但是这对于作P点只用一把无刻度直尺好像没有什么帮助吧（我只是对于这点有些疑问，如果你确实有方法，请告诉我吧，谢谢！）。只是按我的理解，无刻度直尺的意思应该就只是提供直线，不是提供直角吧。

追答

害，都这么过来的，因为我看题里面，没说要画出P，就直接带的方程。
正常做题思路大概是看到这个线段关系，想到勾股定理，想办法找直角三角形，这种题都是出题人先画图形，再把P点擦了让你们找，慢慢找确实能找到，考试的时候花大量时间找的话影响做题状态，半天找不到还会更加紧张。如果实在找不到还不如暴力代数硬算，最后写个综上得P（x,y）最后得个过程分。
这题难道不是两个答案吗，我傻了，二元方程组算出来一个是P与B重合，另一算出来是根号套根号

Answer 3

可以看看，也不一定是正解

追问

呃。。。应该不是，因为题目说用无刻度直尺，所以做AB的垂直平分线应该不是这样作的。。。还有，题目好像是要求AP2=BP2+CP2，并不是说使AP2+BP2+CP2最小

追答

噢噢，好的👌，果然还是脑子不够用啊

追问

不不不，说不定你们多想想就想出来了，既然一道初中的题都能用到向量，估计还会窜出来一些更无法理解的答案。加油！

追答

看着看着就跑偏了😂

Answer 4

找AD的中点做垂直平分线，同理做BD的垂直平分线，交点即圆心。
不难看出，三角形ABC是等边三角形，即当B与P重合时成立。