Question

高数中关于分段函数f(x)在分段点x0的可导性问题

如果f(x)在x0这一点左右导数存在，为什么可以推出f(x)在x0连续的结论？如果f(x)在x0这一点左右导数存在且相等，为什么可以推出f(x)在x0可导的结论？注：f(x)为分段函数... 如果f(x)在x0这一点左右导数存在，为什么可以推出f(x)在x0连续的结论？ 如果f(x)在x0这一点左右导数存在且相等，为什么可以推出f(x)在x0可导的结论？ 注：f(x)为分段函数 展开

Answer 1

　　证明就是了：
　　（1）仅证f(x)在x0这一点左导数存在的情形：此时极限
　　　　lim(x→x0-0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
=
f'-(x0)
存在，于是
　　　　lim(x→x0-0)f(x)
=f(x0)+lim(x→x0-0){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}*(x-x0)
=
f(x0)，
即f(x)在x0左连续。
　　右导数存在的情形类似证明。
　　（2）是可导的充要条件。
　　注：以上证明不管f(x)是否为分段函数都成立。