Question

已知奇函数f（x）=lga-x1+x，（1）求a的值；（2）判断函数f（x）在定...

已知奇函数f（x）=lga-x1+x， （1）求a的值； （2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并证明．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是奇函数∴f（x）+f（-x）=0，即lga-x1+x+lga+x1-x=0
解得a=1
故a的值为1
（2）由（1）知f（x）=lg1-x1+x，定义域为（-1，1），
函数f（x）在定义域上单调递减，证明如下：
任取，x1，x2∈（-1，1）且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=lg1-x11+x1-lg1-x21+x2=lg1-x1+x2-x1x21+x1-x2-x1x2
∵x1，x2∈（-1，1）且x1＜x2
∴（1-x1+x2-x1x2）-（1+x1-x2-x1x2）=2（x2-x1）＞0，
所以1-x1+x2-x1x2＞1+x1-x2-x1x2，
因为1+x1-x2-x1x2=（1+x1）（1-x2）＞0，
所以1-x1+x2-x1x21+x1-x2-x1x2＞1，从而lg1-x1+x2-x1x21+x1-x2-x1x2＞0，
即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）在定义域（-1，1）上单调递减．