Question

已知直线l：mx-y+1-m=0与圆C：x2+（y-1）2=5交于A、B两点；（...

已知直线l：mx-y+1-m=0与圆C：x2+（y-1）2=5交于A、B两点； （Ⅰ）若|AB|=17，求直线l的倾斜角； （Ⅱ）求弦AB的中点M的轨迹方程； （Ⅲ）圆C上是否存在一点P使得△ABP为等边三角形？若存在，求出P点坐标；不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）圆心C（0，1）到直线的距离d=|m|1+m2，
所以|AB|=2R2-d2=25-m21+m2=17，解得m=±3，
所以，倾角α=π3或2π3；…（4分）
（Ⅱ）直线l过定点N（1，1），设动点M（x，y），则CM⊥NM，
所以（x，y-1）•（x-1，y-1）=0，化简得(x-12)2+(y-1)2=14；…（9分）
（Ⅲ）不存在．假设存在符合条件的P点，则由△ABP是等边三角形知，
其外接圆与内切圆的圆心均C（0，1），外接圆半径R=5，
内切圆半径r等于圆心（0，1）到直线AB的距离d=|m|1+m2，
又由等边三角形的性质得r=R2，所以有|m|1+m2=52，⇒m21+m2=54，m无解，故不存在这样的点P．…（13分）