Question

设对任意实数x>0,y>0。若不等式x+√xy≤a(x+2y)恒成立,则实数a的最小值为

Answer 1

a>=(x+根号（xy))/(x+2y)=(1+根号(y/x))/(1+2y/x)=(1+t)/(1+2t^2)，由题意就是求函数f(t)=(1+t)/(1+2t^2)在t位于(0
+无穷)上的最大值，其中t=根号(y/x)。
令(1+t)/(1+2t^2)=u，则2ut^2--t+u--1=0，这个关于t的二次方程要想有解，必须判别式大于等于0，
因此1--8u(u--1)>=0，解得u<=【2+根号(6)】/4，因此a的最小值为【2+根号(6)】/4。