Question

已知函数,,.()当时,求函数的单调区间;()当时,记(且),求在定义域内的极值...

已知函数,,. ()当时,求函数的单调区间; ()当时,记(且),求在定义域内的极值点; (),且,都有成立,求实数的取值范围.

Answer 1

()当时,求函数的导数,即可求函数的单调区间;
()当时,根据函数的导数和极值点的关系,即可求在定义域内的极值点;
()根据不等式恒成立,转化为求函数的最值即可得到结论.
解:()当时,,,
,
由得,,此时函数单调递增,
由得,,此时函数单调递减,
即函数的单调递增区间为,递减区间为;
()当时,记,,
,
当时,,此时函数单调递增,在定义域内的无极值点;
当时,令,得,
则
-
递增
极大值
递减
由表格可知:函数的极大值点为.
(),且,都有成立,
则等价为成立,
即,
即,在上为增函数,
恒成立,
即在上恒成立,
,
即实数的取值范围.
本题主要考查函数的单调性和极值的判断,利用导数和函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键,考查学生的计算能力,综合性较强,难度较大.