Question

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率为...

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率为12，A（-a，0），B（0，b），且△ABF的面积为332，设斜率为k的直线过点F，且与椭圆E相交于M、N两点． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）若 2713≤AM•AN≤277，求k的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵离心率为12，∴a=2c，b=3c．
∵△ABF的面积为332，
∴12(2c+c)×3c=332，∴c=1
∴a=2，∴b=3
∴椭圆E的方程为x24+y23=1；
（Ⅱ）斜率为k的直线过点F，设方程为y=k（x-1）与x24+y23=1联立，消元可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2-12 3+4k2
∴y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=-9k23+4k2
∴AM•AN=(x1+2，y1)•( x2+2，y2)=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=27k23+4k2
∵2713≤AM•AN≤277，∴2713≤27k23+4k2≤277
∴13≤k2≤1
∴33≤k≤1或-1≤k≤-33
∴k的取值范围是[33，1]∪[-1，-33]．