Question

已知函数f（x）=-x+log21-x1+x，其定义域为（-1，1）．（1）求f...

已知函数f（x）=-x+log21-x1+x，其定义域为（-1，1）． （1）求f（12014）+f（-12014）的值； （2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并给出证明．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=-x+log21-x1+x，定义域为（-1，1）；
∴任取x∈（-1，1），
有f（-x）=x+log21+x1-x=x-log21-x1+x=-f（x），
∴f（x）是定义域（-1，1）上的奇函数；
∴f（12014）+f（-12014）=0；
（2）函数f（x）在定义域（-1，1）上是减函数；
证明如下：任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2；
∴f（x1）-f（x2）=（-x1+log21-x11+x1）-（-x2+log21-x21+x2）
=（x2-x1）+log2(1-x1)(1+x2)(1+x1)(1-x2)
=（x2-x1）+log21-x1x2+x2-x11-x1x2+x1-x2，
∵-1＜x1＜x2＜1，
∴x2-x1＞0，
∴1-x1x2+x2-x1＞1-x1x2+x1-x2＞0，
∴log21-x1x2+x2-x11-x1x2+x1-x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）是定义域（-1，1）上的减函数．