Question

高二数学导数题一道。求解。谢谢各位啦~

已知函数f(x)=(x^2+ax+2)e^x,(x,a属于R) (1)当a=0时，求函数f(x)的图像在点A(1，f(1)) 处的切线方程。 (2)若f(x)在R上单调，求a取值范围。 (3)当a=-5/2时，求函数f(x)的极小值。

Answer 1

解:
(1)
a=0，f(x)
=
(x²+2)*e^x
f'(x)
=
2x*e^x+(x²+2)*e^x
=
(x²+2x+2)*e^x
因此:
f(1)
=
3e;f'(1)
=
5e，即切线斜率为
5e
切线方程为;
y
-
3e
=
5e(x-1)
==>
y
=5e
*x
-2e
(2)
f'(x)
=
(2x+a)*e^x+(x²+ax+2)*e^x
=
[x²+(a+2)x+(a+2)]*e^x
f(x)
在R上单调，则恒有
f'(x)≥0
或者
恒有f'(x)≤0
∵
e^x
>0，且
x²+(a+2)x+(a+2)
>0
必有解
∴
不能满足任意x，f'(x)≤0
若
x²+(a+2)x+(a+2)
<
0
无解，则可满足任意x，f'(x))≥0
只要:Δ
=
(a+2)²
-
4(a+2)≤0
解得:-2
≤
a
≤
2
a的取值范围是
[-2,
2]
(3)
当a=-5/2时:
f'(x)
=
[x²+(a+2)x+(a+2)]*e^x
=
(x²
-x/2
-
1/2)*e^x
=
1/2*(2x+1)(x-1)e^x
令f'(x)
=0,
解得
x1=-1/2，x2=1;
当
x<-1/2
时，
f’(x)
>0
-1/2
<x<1时，f‘(x)
<0
x>1
时，f'(x)>0
因此
x
=1为极小值点;
极小值:f(1)
=
(1+a+2)
e
=
e/2