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乱七八糟答案真多……详细过程如图rt所示，希望能帮到你解决问题
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因为曲面x^2+y^2=2z只是积分区域的一个面，所以不能直接把x^2+y^2=2z代入被积函数。
设x=rcosu,y=rsinu,则dxdy=rdrdu,
原式=∫<0,2π>du∫<0,2>dz∫<0,√(2z),>r^3dr
=(π/2)∫<0,2>dz*r^4|<0,√(2z)>
=(π/2)∫<0,2>(4z^2)dz
=(2π/3)(z^3)|<0,2>
=16π/3。
设x=rcosu,y=rsinu,则dxdy=rdrdu,
原式=∫<0,2π>du∫<0,2>dz∫<0,√(2z),>r^3dr
=(π/2)∫<0,2>dz*r^4|<0,√(2z)>
=(π/2)∫<0,2>(4z^2)dz
=(2π/3)(z^3)|<0,2>
=16π/3。
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这是二重积分， z是 由 0 到 2 积分，
并非第一类曲面积分， 不能直接代入。
并非第一类曲面积分， 不能直接代入。
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这个你要看三重积分的几何意义了，在所围成的区域内 x²+y²与2z并不恒等，因为是圆锥面，所以使用柱面坐标求解方便
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求的是三重积分，空间中x^2+y^2=2z不恒成立
如果求曲面积分可以代入（等式可以在曲面上恒成立）
这题就是极坐标换元
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