Question

三角形中，c/(a+b)+b/c最小值

Answer 1

[c/(a+b)+b/c]+a/c=
c/(a+b)
+
(a+b)/c
>=
2
当c/(a+b)=(a+b)/c时，取最小值2
但c=a+b与a+b>c矛盾
所以[c/(a+b)+b/c]
>2-a/c，这个式子是不定的，最小可接近0
一般任意三角形的式子“对称、轮换对称式”才可能有定值。
比如求c/(a+b)+b/(a+c)+a/(b+c)的最小值.
令a+b=C,a+c=B,b+c=A
所以
a+b+c=(A+B+C)/2
c=(A+B+C)/2-C=(A+B-C)/2
b=(A+B+C)/2-B=(A+C-B)/2
a=(A+B+C)/2-A=(B+C-A)/2
所以:
2*[c/(a+b)+b/(a+c)+a/(b+c)]
=(A+B-C)/C+(A+C-B)/B+(B+C-A)/A
=(A/C)+(B/C)-1+(A/B)+(C/B)-1+(B/A)+(C/A)-1
=(A/C)+(C/A)+(B/C)+(C/B)+(A/B)+(B/A)-3
≥2√1+2√1+2√1-3
=3
当且仅当A=B=C时等号成立
所以
a=b=c时，c/(a+b)+b/(a+c)+a/(b+c)的最小值为3/2