Question

设F1,F2是双曲线x^2/4-y^2=1的两个焦点，点P在双曲线上

若∠F1PF2=120°，求三角形F1PF2的面积 求|PF1||PF2|的面积

Answer 1

1、
a²=4,b²=1
c²=a²+b²=5
令PF1=m,PF2=n
则|m-n|=2a=4
平方
m²-2mn+n²=16
F1F2=2c=2√5
余弦定理
cos120度=-1/2=(m²+n²-F1F2²)/(2mn)
所以m²+n²-20=-mn
代入m²-2mn+n²=16
-mn+20-2mn=16
mn=4/3
所以面积=1/2mnsin120=√3/3
2、
令PF1=m,PF2=n
则|m-n|=2a=4
平方
m²-2mn+n²=16
m²+n²=16+2mn
当P在顶点时，角F1PF2是平角
cosF1PF2有最小值-1
所以cosF1PF2>=-1
cosF1PF2=(m²+n²-F1F2²)/(2mn)
=(2mn-4)/(2mn)
=1-2/(mn)>=-1
2/(mn)<=2
所以mn>=1
所以mn最小值=1