Question

用定积分求和式极限的一个问题

见图片

Answer 1

无法理解楼主思路，特别是你第二个问题。
我尝试解释一下看楼主能否理解。
把那条极限求和的式子看成无数个矩形求和
每个矩形的长都是
π/(2n)
高则是2cos
[
iπ/(2n)
-
π/(4n)]
当n趋于正无穷的时候，这些矩形面积之和也将趋近于
cosx
在[0,π/2]之下的面积。
和楼主给的定积分定义不太相同的是，
这里第i
个矩形的高取的值是
2cosx
在第i
个区间[(i-1)π/(2n),
iπ/(2n)]
的中点的值，
即2cos
[
iπ/(2n)
-
π/(4n)]
使用定积分定义的时候，小区间的长度也就是矩形的长究竟是
π/(2n)还是
π/n
都没有问题，关键是矩形的高要对应得上。
这道题中函数自变量x
=
iπ/(2n)
-
π/(4n)
，i每增加1，x增加
π/(2n)。所以很自然地把矩形的长取为π/(2n)。
若非要像楼主所想的把区间长度取为π/n
，则第i个矩形的高取的值，是cos(x/2)在第i个区间
[
(i-1)π/n,
iπ/n]
的中点的值
即
cos
[
iπ/(2n)
-
π/(4n)]。
不过这样的话积分的区间就变成[0,π]了。
不管怎么理解那条求和的式子
结果都是一样的。