Question

如何解方程3^x+4^x+5^x=6^x?

Answer 1

3^x+4^x+5^x=6^x
两边除6^x
(1/2)^x+(2/3)^x+(5/6)^x=1
显然x=3时
(1/2)^x+(2/3)^x+(5/6)^x=1/8+8/27+125/216=1
所以x=3是方程的解
因为1/2<1,2/3<1,5/6<1
所以(1/2)^x，(2/3)^x，(5/6)^x都是减函数
所以f(x)=(1/2)^x+(2/3)^x+(5/6)^x是减函数
所以x<3时，f(x)>f(3)=1
x>3时，f(x)<f(3)=1
所以除了x=3外，不可能有其它实数
使得f(x)=(1/2)^x+(2/3)^x+(5/6)^x=1成立
所以x=3是(1/2)^x+(2/3)^x+(5/6)^x=0的唯一的解
所以x=3是3^x+4^x+5^x=6^x
的唯一的解