Question

p：x 2 +2x+a≥0，q：|x-3|＞2，若p是?q的必要不充分条件，求a的取值范围

p：x 2 +2x+a≥0，q：|x-3|＞2，若p是?q的必要不充分条件，求a的取值范围．

Answer 1

由|x-3|＞2，得x-3＞2或x-3＜-2，
即x＞5或x＜1，即q：x＞5或x＜1，￢q：1≤x≤5，
∵p：x
2
+2x+a≥0，
∴若p是?q的必要不充分条件，
即￢q?p成立，p?￢q不成立，
即当1≤x≤5时，不等式x
2
+2x+a≥0恒成立，
即a≥-x
2
-2x，在1≤x≤5上恒成立，
设f（x）=-x
2
-2x，
则f（x）=-x
2
-2x=-（x+1）
2
+1，
∵1≤x≤5，
∴当x=1时，函数f（x）有最大值f（1）=-1-2=-3，
∴a≥-3．
即a的取值范围为[3，+∞）．