Question

已知，如图，be、cf分别是三角形abc的边ac、ab上的高，be于cf相交于点d，求证三角形abc相似于三角形aef

已知，如图，be、cf分别是三角形abc的边ac、ab上的高，be于cf相交于点d，求证1.三角形abc相似于三角形aef。2.如果∠A=60°，求S三角形AEF比S三角形ABC的值。

Answer 1

求证如下：

已知cf、be为ab、ac的高，则cf⊥ab,de⊥ac。在△afc与△aeb中，因为∠cfa∶∠bea＝90°，∠a＝∠a。所以△afc相似于△aeb，af∶ae＝ab∶ac。

在△afe与△abc中，因为∠a＝∠a，af∶ae＝ab∶ac，所以△afe相似于△abc。

三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。

相似三角形的判定：

1、平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；

2、如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等,这2个三角形也可以说明相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.)；

3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.)；

4、如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似)。

Answer 2

（1）∵∠A=∠A，∠AFC=∠AEB=90°
∴△AFC∽△AEF
∴AF比AE=AB比AC
∴AF比AB=AE比AC
∴三角形abc相似于三角形aef
（2）∵∠AEB=90°，∠A=60°
∴AE比AB=1比2
∵AE=AF
∴AF比AB=1比2
∴S三角形AEF比S三角形ABC的值=1/4
—我们刚做了这个题，算你好运，有我帮你，全都是我智慧的结晶啊

Answer 3

因为be、cf分别是三角形abc的边ac、ab上的高
所以BCEF四点共圆
角aef=角abc，又顶角相同，所以相似
∠A=60°，故AB=2AE
S三角形AEF比S三角形ABC=0.5^2=0.25

Answer 4

取BC的中点G，连接EG、FG，由于都在直角三角形中，因此可以知道，BG=GC=GF=GE，所以BCEF四点共圆，由于外角等于内对角，所以角AEF=角ABC。因此三角形abc相似于三角形aef。
角A为60°，因此ABE为30°，在圆BCEF中，角EGF为ABE的两倍，所以角EGF为60°。边EG=FG，所以EFG为等边三角形，EF=EG=1/2BC。所以EF/BC=1/2，两个三角形相似，因此面积之比1/4。

Answer 5

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