Question

一道函数数学题

已知二次函数f(x)同时满足下列条件：①f(x+1)=f(1-x)；②f(x)的最大值15；③f(x)=0两根立方和等于17。求f(x)的解析式
函数对称轴为什么是x=1呢？

Answer 1

设二次函数为y=a（x+h）^2+k
由条件1可知：函数对称轴为x=1
由条件2可知：函数图像开口向下，顶点坐标为（1,15）
所以y=a（x-1）^2+15
即y=ax^2-2ax+a+15
由韦达定理可知：x1+x2=2
x1x2=(a+15)/a

由条件3可知：x1^3+x2^3=17
即(x1+x2)(x1^2-x1x2+x2^2)=17
2(x1^2+2x1x2+x2^2-3x1x2)=17
2(x1+x2)^2-6x1x2=17
8-6(a+15)/a=17
-2(a+15)/a=3
-2a-30=3a
a=-6
所以y=-6（x-1）^2+15