Question

如图所示，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O做直线MN平行于BC,设MN交角BCA的平分线于点E，交

如图所示，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O做直线MN平行于BC,设MN交角BCA的平分线于点E，交角BCA的外角平分线于点E、F. (!)求证：OE=OF; (2）当点O在何处时，四边形AECF是矩形？ (3) 在（2）的条件下，请在三角形ABC中添加条件，使四边形AECF变为正方形，并说明理由

Answer 1

（1）证明：因为MN平行BC
所以角OEC=角BCE
角ACF=角GCF （点G是角ACG设的字母）
因为CE是角BCA的内角平分线
所以角ACE=角BCE=1/2角ACB
所以角OEC=角OCE
所以OC=OE
因为CF是角BCA的外角ACG的平分线
所以角ACF=角GCF=1/2角ACG
所以角ACF=角OFC
所以OC=OF
所以OE=OF
(2)当点O是AC的中点时，四边形AECF是矩形
证明：因为O是AC的中点
所以OA=OC=1/2AC
因为OE=OF
所以对角线AC和EF互相平分
所以四边形AECF是平行四边形
因为角ACE=角BCE=1/2角ACB (已证）
角ACF=角GCF=1/2角ACG (已证）
角ACB+角ACG=180度（平角等于180度）
所以角ECF=角ACE+角ACF=90度
所以四边形AECF是矩形
（2）当角ACB=90度时，四边形AECF是正方形
证明：因为角ACE=角BCE=1/2角ACB（已证）
角ACB=90度
所以角ACE=45度
因为角ECF=角ACE+角ACF=90度（已证）
所以角ACF=45度
因为四边形AECF是矩形（已证）
所以AF平行CE
所以角CAF=角ACE=45度
所以角CAF=角ACF=45度
所以AF=CF
所以四边形AECF是正方形

Answer 2

1、解：因为 mn//bc
所以 角bce=角fec
又因为 角 bce=角eco(ce为角bca的角平分线）
所以 在三角形oec中角oec=角oce 则oce为等腰三角形
即oe=oc
同理可证of=oc
则有oe=oc=of
即oe=of
2、解：当o点在ac中点时，四边形aecf为矩形
由1得oe=of
且oc=oa(o为ac中点）
所以 四边形aecf为平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形）
又因为 角bca+角ack=180度（k为bc延长线上一点）
角bce=角eca 且 角bce+角eca=角bca
角acf=角fck 且 角acf+角fck=角ack
所以 角ecf=角eca+角acf=1/2bck=90度
所以 四边形acef为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
3、解：在2条件下，当三角形abc为直角三角形，角acb为直角时，四边形
aecf为正方形。
因为ef//bc ac⊥bc
所以ef⊥ac
所以四边形aecf为正方形（对角线相互垂直的矩形是正方形）

Answer 3

1因为已知CE平分∠BCA，所以∠BCE=∠ECA，因为MN//BC，所以∠BCE=∠CEO，所以∠CEO=∠ECA，所以EO=CO，因为CF平分∠OCI，所以∠OCF=∠FCI，因为MN//BC，所以∠OFC=∠FCI，所以∠OFC=∠OCF，所以CO=FO，所以EO=FO
2当点O运动到AC中点时，四边形AECF为矩形
因为由上题以证明EO=FO，若o运动到AC中点 则AO=CO，则AC、EF互相平分，则四边形AECF为平行四边形，因为已知CF平分∠OCI，CE平分∠BCA，所以∠BCE=∠ECO，∠OCF=∠FCI，所以∠ECO+∠OCF=∠BCE+∠FCI，因为∠BCI=180°，所以∠ECO+∠OCF=90°，所以平行四边形AECF为矩形

Answer 4

证明：（1）∵MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。

∴∠ECO = ∠BCE，∠DCF = ∠OCF

又∵直线MN ‖BC，

∴∠BCE = ∠CEO，∠DCF = ∠CFO

∴∠ECO = ∠CEO，∠CFO = ∠OCF

∴EO = CO，CO = FO

∴ EO = FO

（2）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，

证明：当EO = FO时，O为EF的中点，

而当O为AC的中点时，说明四边形AECF是平行四边形

由（1）可知CO =EF，而CO =AC

∴EF = AC，所以四边形AECF是矩形。

（3）当点O运动到AC中点且∠ACB = 90°，四边形AECF是正方形。

证明：当∠ACB = 90°，∠CEO = ∠CFO = 45°

∴EC = CF，而当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形

∴四边形AECF是正方形。

Answer 5

解：（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO．

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．

（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．