Question

已知在梯形ABCD中，AD‖BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．

已知在梯形ABCD中，AD‖BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
①求证；△ABP∽△DPC②求AP的长．
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量取值范围；
只需要解答（2）取值范围 答案：1<x<4

Answer 1

解析：

(1)①证明：

根据题意，容易知道此梯形是等腰梯形

∠BPC=∠A

又∵∠A+∠ABC=180°，∠BPC+∠APB+∠DPC=180°，

∴∠ABC=∠APB+∠DPC

又∵∠APB=∠PBC，∠ABC=∠ABP+∠PBC

∴∠ABP=∠DPC

又∵∠A=∠D

∴△BAP∽△PDC

得证

②由①，得

△BAP∽△PDC

∴AB/AP=PD/CD

2/AP=(5-AP)/2

解得AP=1或4

(2)当P移动时，∠BPE=∠A并未改变，∠A=∠D也没有改变

所以∠ABP=∠DPC也没有改变

所以△BAP∽△PDQ仍然成立

AP=x

∴AB/AP=PD/DQ

2/x=(5-x)/DQ

DQ=(5-x)x/2

当Q在线段DC的延长线上时，有DQ＞DC成立，

∴(5-x)x/2＞2

∴1＜x＜4

∴y=DQ-CD=(5x-x²)/2 -2=(-x²+5x-4)/2

即y=(-1/2)x²+(5/2)x-2

x∈(1,4)

谢谢