Question

高中数学公式

Answer 1

一、平均不等式（均值不等式）

设 ， ，…， 是 个实数，

叫做这 个实数的算术平均数。当这 个实数非负时，

叫做这 个非负数的几何平均数。当这 个实数均为正数时，

叫做这 个正数的调和平均数。

设 ， ，…， 为 个正数时，对如下的平均不等式：

，

当且仅当 时等号成立。

平均不等式 是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一。

设 ， ，…， 是 个正的变数，则

（1）当积 是定值时，和 有最小值，且

；

（2）当和 是定值时，积 有最大值，且

两者都是当且仅当 个变数彼此相等时，即 时，才能取得最大值或最小值。

在 中，当 时，分别有

，

平均不等式 经常用到的几个特例是（下面出现的 时等号成立；

（3） ，当且仅当 时等号成立；

（4） ，当且仅当 时等号成立。

二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）

对任意两组实数 ， ，…， ； ， ，…， ，有

，其中等号当且仅当 时成立。

柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的 ，…， ； ，…， 都表示实数）是：

（1） ， ，则

（2）

（3）

柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位。

三、闵可夫斯基不等式

设 ， ，…， ； ， ，…， 是两组正数， ，则

（ ）

（ ）

当且仅当 时等号成立。

闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当 时得平面上的三角形不等式：

右图给出了对上式的一个直观理解。

若记 ， ，则上式为

四、贝努利不等式

（1）设 ，且同号，则

（2）设 ，则

（ⅰ）当 时，有 ；

（ⅱ）当 或 时，有 ，上两式当且仅当 时等号成立。

不等式（1）的一个重要特例是

（ ）

五、赫尔德不等式

已知 （ ）是 个正实数， ，则

上式中若令 ， ， ，则此赫尔德不等式即为柯西不等式。

六、契比雪夫不等式

（1）若 ，则

；

（2）若 ，则

下面给出一个 时的契比雪夫不等式的直观理解。

如图，矩形OPAQ中， ， ，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）。于是有

，也即

七、排序不等式

设有两组数 ， ，…， ； ， ，…， 满足 ，则有

，式中的 ， ，…， 是1，2，…， 的任意一个排列，式中的等号当且仅当 或 时成立。

以上排序不等式也可简记为：

反序和 乱序和 同序和

这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解。

八、含有绝对值的不等式

为复数，则

，

左边的等号仅当 的幅角差为 时成立，右边的等号仅当 的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是

，

也可记为

绝对值不等式在实数的条件下用得较多。

九、琴生不等式

设 是（ ）内的凸函数，则对于（ ）内任意的几个实数 有

，

等号当且仅当 时取得。

琴生不等式是丹麦数学家琴生于1905年到1906年间建立的。利用琴生不等式我们可以得到一系列不等式，比如“幂平均不等式”，“加权的琴生不等式”等等。

十、艾尔多斯—莫迪尔不等式

设P为 内部或边界上一点，P到三边距离分别为PD，PE，PF，则

，

当且仅当 为正三角形，且P为三角形中心时上式取等号。

这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要不等式。

Answer 2

百度 文档 比较全的下一个就是了