Question

高中数学一题求解析过程

已知中心在原点，焦点在X轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2，且/F1F2/=2倍根号13，又椭圆的半长轴长与双曲线的半实轴长之差等于4，且它们的离心率之比为3：7
1.求椭圆与双曲线的方程
2.若P是它们的一个交点，求角F1PF2的余弦值
要解题步骤过程哦、最好算出来、【在线等】谢谢！

Answer 1

焦点相同，焦距相等，c是相等的c=√13
∵e=c/a
∴二者a之比为7:3，二者a之差为4
∴椭圆的a=7，双曲线a=3,
椭圆的b=√(7²-13)=6，双曲线b=√(13-3²)=2
∴椭圆与双曲线的方程:
x²/7²+y²/6²=1, x²/3²-y²/2²=1

根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2*7=14
双曲线定义||PF1|-|PF2||=2*3=6
交点总共有四个，都是等同的，假设是|PF1|＞|PF2|的一个点
|PF1|=10,|PF2|=4
用余弦定理，|F1F2|²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1||PF2|cosθ
∴cosθ=[10²+4²-(2√13)²]/[2*10*4]=4/5

∴

Answer 2

1。设椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>o)
双曲线x2/m2-y2/n2=1（m>0,n>0）
由题意得a2-b2=m2+n2=13,a-m=4,m:a=3：7
可求得a=7，b=6。m=3，n=2
2。联立椭圆和双曲线方程，可解得p点横坐标x=21·根号13/13
pF1=a+ex=7+3=10.PF2=2a-10=4
由余弦定理得

cos=（100+16-52）/（2·10·4）=4/5